- Mengetahui Metode Optimasi Analitis Satu Variabel Tanpa Kendala.
- Mengetahui Metode Optimasi Analitis Multi Variabel Tanpa Kendala.
- Mengetahui Metode Optimasi Analitis Multi Variabel dengan Kendala Persamaan.
- Mengetahui Metode Optimasi Analitis Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan.
Dimisalkan x adalah
variabel penentu dan f(x) adalah fungsi tujuan dari suatu masalah. Metode
optimasi menyelesaikan masalah:
Untuk menyelesaikan
permasalahan seperti tertera di atas digunakan kalkulus diferensial yang
dinyatakan seperti di bawah ini:
- Teorema:
Misalkan f adalah
fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada
interval terbuka (a,b).
(i) Jika f’(x) > 0
untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menanjak pada [a,b].
(ii) Jika f’(x) < 0
untuk seluruh x dalam (a,b), maka f adalah menurun pada [a,b].
- Test derivasi pertama:
Misalkan f adalah fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat
diderivasikan pada interval terbuka (a,b) kecuali mungkin di titik c yang
berada didalam (a,b).
(i) Jika f’(x) > 0
untuk a < x < c dan f’(x) < 0 untuk c < x < b, maka f(c) adalah
sebuah maximum lokal dari f.
(ii) Jika f’(x) < 0
untuk a < x < c dan f’(x) > 0 untuk c < x < b, maka f(c) adalah
sebuah minimum lokal dari f.
(iii) Jika f’(x) < 0
atau f’(x) > 0 untuk setiap x dalam (a,b) kecuali x = c, maka f(c) BUKAN
sebuah nilai ekstrim.
- Test derivasi kedua:
Misalkan f adalah fungsi yang dapat diderivasikan pada interval terbuka yang
berisi titik c dan f’(c) = 0,
(i) Jika f”(c) < 0,
maka f(c) adalah sebuah maximum lokal dari f.
(ii) Jika f”(c) > 0,
maka f(c) adalah sebuah minimum lokal dari f.
Contoh 1:
Sebuah perusahaan
catering (makanan ringan yang menyediakan konsumsi untuk suatu penataran di JTE
FT UMY) berusaha mengurangi pengeluaran untuk keperluan pembungkus. Bungkus
tersebut terbuat dari kertas karton seperti tampak pada Gambar di samping.
Keempat pojoknya akan dipotong segi empat samasisi sedemikian rupa sehingga
volumenya menjadi maksimum.
Penyelesaian:
volume pembungkus dapat dinyatakan,
- Teorema:
Misalkan f’(c) = f”(c)
= … = f(n-1)(c) = 0, tetapi f(n)(c) ≠ 0. Maka f(c) adalah:
(i) nilai minimum dari
f(x), jika f(n)(c) > 0 dan n adalah bilangan genap,
(ii) nilai maximum dari
f(x), jika f(n) (c) < 0 dan n adalah bilangan genap,
(iii) bukan minimum dan maximum jika n adalah bilangan gasal.
Secara umum teknik yang
digunakan pada optimasi satu dimensi dapat digunakan dalam optimasi multi
variabel.
Definisi dan
simbol-simbol yang digunakan:
- Teorema:
Jika f(X) mempunyai
sebuah titik ekstrem (minimum maupun maximum) pada X = X* dan jika derivasi
pertama dari f(X) mempunyai nilai pada titik X*, maka ∇f(X*) = 0
PERHATIAN: Kebalikannya
belum tentu benar yaitu jika ∇f(X*) = 0 maka X*
adalah titik ekstrem.
- Teorema:
Titik X* disebut titik
maksimum lokal dari f(X) jika dan hanya jika:
(i) ∇f(X*) = 0
(ii) H(X*) < 0
definit negatif dengan H = matrik Hessian yang didefinisikan sebagai:
- Teorema:
Titik X* disebut titik
minimum lokal dari f(X) jika dan hanya jika:
(i) ∇f(X*) = 0
(ii) H(X*) > 0
definit positif atau |H|j > 0 untuk j = 1,2,…,n, sehingga
Pada bagian ini akan
didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengan kendala persamaan yang
mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
disini m ≤ n, jika
terjadi bahwa m > n, maka biasanya tidak dapat diselesaikan
Untuk menyelesaikan
permasalahan optimasi di atas, digunakan metode pengali Lagrange, yaitu:
- Teorema:
Syarat perlu bagi
sebuah fungsi f(X) dengan kendala gj(X) = 0, dengan j = 1, 2, …, m
agar mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah derivasi parsial pertama
dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L = L(x1,x2,…,xn,
λ1,λ2,…,λn) terhadap setiap argumennya
mempunyai nilai nol.
- Teorema:
Syarat harus bagi
sebuah fungsi f(X) agar mempunyai minimum (atau maximum) relatif pada titik X*
adalah jika fungsi kuadrat, Q, yang didefinisikan sebagai
dievaluasi pada X = X*
harus definit positif (atau negatif) untuk setiap nilai dX yang memenuhi semua
kendala.
Syarat perlu agarmenjadi definit positif (atau negatif) untuk setiap variasi nilai dX adalah setiap akar dari polinomial, zi, yang didapat dari determinan persamaan di bawah ini harus positif (atau negatif).
Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengan kendala pertidak-samaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut:
Jadi permasalahan optimasi di atas dapat ditulis
kembali sebagai:
Permasalahan ini dapat
diselesaikan metode pengali Lagrange.
Syarat perlu untuk
suatu penyelesaian optimum pers diperoleh dari penyelesaian sistem persamaan di
bawah ini.
Syarat perlu agar
persamaan optimasi, mencapai titik minimumnya dapat pula dicari dengan syarat Kuhn-Tucker. Untuk problema jenis konvex, syarat Kuhn-Tucker menjadi syarat
perlu dan cukup untuk sebuah minimum global.
PERHATIAN:
- Jika permasalahannya adalah memaksimumkan {bukan meminimumkan seperti contoh}, maka λj ≤ 0 dalam Pers.(1.21d).
- Jika kendalanya adalah gj ≥ 0, maka λj ≤ 0 dalam Pers.(1.21d).
- Jika permasalahannya adalah memaksimumkan dan jika kendalanya adalah gj ≥ 0, maka λj ≥ 0 dalam Pers.(1.21d).
6. Video Pengenalan Optimasi [kembali]
